I shall come back on an old joint work with P. Bérard and S. Gallot which has had consequences in Applied Harmonic Analysis. If time permit I may describre new developments and applications in data analysis. This is a tribute to spectral analysis of manifolds and its fruitful applications, in honour of Bruno Colbois.
Je présenterai quelques avancées concernant le contrôle des petites valeurs propres du Laplacien de Hodge sur une variété compacte, en particulier nos travaux en collaboration avec Junya Takahashi.
It is a joint work with Bo-Yong Chen and Yuanpu Xiong (Fudan University-Shanghai). We show a sharp comparison between the volume growth of geodesic ball and the bottom of the Dirichlet spectrum of geodesic ball.
En optimisation de forme, les géométries optimales sont souvent très symétriques.
Ce phénomène est déjà observé pour l'inégalité isopérimétrique classique:
dans le plan Euclidien les disques sont les uniques maximiseurs de l'aire
sous contrainte de périmètre prescrit.
Dans cet exposé, il sera question
d'espaces qui optimisent des valeurs propres d'opérateurs de Laplace et de
Dirichlet-Neumann sous diverses contraintes géométriques. Plusieurs de ces
optimiseurs sont très symétriques, mais il existe des exceptions mystérieuses.
Dans mon travail avec Jean Lagacé et Mikhail Karpukhin par exemple,
nous avons résolu le problème isopérimétrique pour l'écart spectral de l'opérateur de
Dirichlet-Neumann pour des domaines plans. La solution que nous avons obtenue est
manifestement peu symétrique... à première vue. C'est une illusion qui sera dissipée
en relaxant le problème isopérimétrique et en le plaçant dans un contexte plus général:
la maximisation de l'écart spectral associé à des mesures de Radon pas
trop malicieuses dont la masse est prescrite.
The geometry and topology of hyperbolic surfaces are subtly reflected
in a geometric bound for the Laplace eigenvalues. In 1980, Schoen, Wolpert, and Yau
showed that the `small' Laplace eigenvalues can be bounded from below and above
by the length of a shortest multi-geodesic cutting the surface into disjoint
connected components.
In this talk, we discuss a counterpart of Schoen-Wolpert-Yau's
inequality for the Steklov eigenvalues on finite area hyperbolic surfaces with
geodesic boundary. This talk is based on joint work with
Antoine Métras and Hélène Perrin.
The interplay between the eigenvalues of the Steklov problem and the geometry
of the underlying object is a key theme within Spectral Geometry. In the last
decade, substantial progress has been made in obtaining geometric upper bounds
for the Steklov eigenvalues in various geometric settings. The Steklov spectral ratios
and gaps have also received attention in recent years and they too offer fascinating
insights into this interplay.
In this talk we will first give an overview of some geometric bounds for Steklov
eigenvalues of Riemannian manifolds of dimension at least 3. We will then present
recent results regarding upper bounds for the Steklov ratios and gaps on balls
with revolution-type metrics. The latter is based on joint work with Jade Brisson
(Université de Neuchâtel) and Bruno Colbois (Université de Neuchâtel).
We will look at the eigenvalue problem for the magnetic Laplacian
in a bounded domain in the plane, with uniform magnetic field and
Neumann boundary conditions. This problem has been studied for a
long time in the physics literature for its relevance to superconductivity,
but many mathematical questions remain open. While previous work has
largely been concerned with asymptotic expansions for small or large
values of the magnetic field, there has been a recent focus
on explicit bounds.
I will give an overview of joint work with Bruno Colbois,
Luigi Provenzano and Alessandro Savo, during which we obtained
upper and lower bounds for the eigenvalues, depending only on the
value of the magnetic field, and possibly on some geometric parameters
of the domain. In particular, I will describe the (partial) proof of a
reversed Faber-Krahn inequality conjectured by S\o ren Fournais and Bernard Helffer.
Pour un suite divergente de groupes de Schottky de l'espace hyperbolique H^N, la dimension de Hausdorff de leurs ensembles limite tend vers 0. En plongeant ces groupes dans le groupe des isométries de l'espace hyperbolique de dimension infinie, on détermine la vitesse de convergence (travail en commun avec Antonin Guilloux).